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澳门网上娱乐场网上,为什么物理量的单位总是由基本单位的幂相乘得来的?

[ 发布日期:2020-01-09 10:41:01] 浏览人数: 4765

澳门网上娱乐场网上,为什么物理量的单位总是由基本单位的幂相乘得来的?

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超模物理课堂

圆形似乎并不是那么完美

考虑某颗星球,它由某种密度均匀的物质组成,其质量为 m ,体积为 v 。如果这颗星球是一个球体,那么它的半径 r = ((3v) / (4π))1/3,星球表面上的重力加速度则为 g = gm / r² = gm((4π) / (3v))2/3,其中 g 是万有引力常数。

考虑这颗星球所有可能的形状,怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大?最大值是多少?

下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。这个图形是一个稍微有些变形的球体,整个图形是一个以 z 方向为轴的旋转体,顶端的 m 点即是重力加速度最大的点,它的重力加速度为 g = (4/5)(15/4)1/3π2/3m / v1/3,只比球形星体的重力加速度大 2.6% 。

这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。

这个问题的解法非常漂亮。

首先,假设我们想要让星体表面上的某个点 m 的重力加速度最大,并且所受重力方向在 z 轴上,那么这个星体必然是沿 z 轴方向对称的。否则,取出不对称的一层,把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘,这将会让 m 点在竖直方向上的受力变大。不断这样做直到这个图形沿 z 轴完全对称,显然就得到了一个更优的形状。

接下来的步骤就真的神了。

现在,在星体上取一个非常细的圆环,假设它的质量是 dm 。那么,这个圆环所贡献的重力加速度大小就是 g·dm·cosθ /r² 。如果把这个圆环从星体中挖掉,放到其它的位置上,那么新的圆环将会有新的 r 值和 θ 值。当整个形状达到最优时,这个形状将位于“极值点”的位置,也就是说它的“微分”为 0 ,任何微小的变动都不会改变 m 的加速度。这就意味着, cosθ / r² 是一个常数。这个条件就确定出整个星体的形状。

为什么光总是沿着光程处于驻点的路径传播

fermat 光程最短原理指出,光从 a 点到 b 点,总是沿着最快的路径传播。这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。

不过,后来我们知道了,更一般的描述应该是,光总是沿着光程处于驻点的路径传播。为什么会加上这一条?有没有光程极大的例子呢?

这里有一个例子。考虑椭圆内的两个焦点 a 、 b ,和椭圆上的一点 m 。显然,不管 m 取在哪儿, am + bm 都是相同的。

现在,在椭圆内部画一条曲线,这条曲线与椭圆相切于 m 点。然后,擦掉原来的椭圆,把这条曲线视作镜面。显然, amb 仍然是一条反射光线,但从其它地方反射,光程都会小于 amb 。 amb 是一个光程极大的路径。

如何秒杀无穷电阻问题

有一个无穷大的正方形网格,每条小线段都是 1Ω 的电阻丝。求相邻两点间的等效电阻阻值。

这个问题有一个很妙的解法。

假设一个大小为 1a 的电流从红点处流入,从各个无穷远处流出。由对称性,有 (1/4)a 的电流将会流过红蓝两点之间的线段。

现在,再假设一个大小为 1a 的电流从各个无穷远处流入,从蓝色点流出。由对称性,红蓝两点之间的线段仍然有 (1/4)a 的电流。

把两种情况叠加在一起看,大小为 1a 的电流从红点进去从蓝点出来,那么,红蓝两点间的线段就有 (1/2)a 的电流。因而,两点间的电压就是 (1/2)a·1Ω = (1/2)v 。所以两点间的等效电阻就是 (1/2)v / 1a = (1/2)Ω。

说到无穷网格电阻的问题,我们有说不完的话题。这个问题本身的扩展非常之多。例如,我们可以把问题扩展到 n 维的情形:n 维无限电阻网格中,相邻两点的等效电阻是多少?利用同样的方法可以得出,答案就是 1/n。

回到二维情形,如果我们换一个扩展方向,改问对角两点间的电阻,上述分析方法就不行了。而这个加强版问题的答案也更加玄妙:两点间的阻值为 (2/π)Ω。大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。

xkcd(https://xkcd.com/356/) 有一个经典漫画,形象地描绘出 nerd 们被数理趣题折磨的感受。当然,这幅画本身也折磨了不少人,网上涌现出大量对这个问题的讨论。

还有一种经典的无穷电阻问题:一个向右无穷延伸的梯子形网格,每条线段都是 1Ω 的电阻,求两点间的等效电阻。

问题的解法非常漂亮。假设我们要求的答案是 r,则 r 可以看作是三个 1Ω 的电阻串联,然后把一个阻值为 r 的电阻(也就是它本身)与中间那个 1Ω 电阻并联所得。于是得到等量关系 r = 1 + 1/(1+1/r) + 1,解得 r = 1 + √3。

还有一些经典的求电阻问题。其中一个问题是,一个正方体的 12 条棱上各有一个 1Ω 的电阻,求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。 2007 年 10 月份 ibm ponder this (https://www.research.ibm.com/haifa/ponderthis/challenges/october2007.html)的题目则是,分别考虑五种正多面体,如果每条棱上各有一个 1Ω 的电阻,则相邻两顶点的等效电阻是多少?巧妙地利用对称性,这几个问题都可以迅速被秒杀。

关于物理量的单位的深刻问题

物理量的单位总是由基本单位(质量、长度、时间等)的幂相乘得来的。比如,能量的单位就是 1j = kg·m2·s-2 。

为什么没有什么物理量,它是由基本单位通过更复杂的形式导出的?比如说,为何没有什么物理量,它的单位是 sin(kg)·log(m) ?

这是一个非常有趣,无疑也是非常深刻的问题。它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题:什么是物理量?什么是物理单位?我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。

网站上的标准答案是,只有这种形式的导出单位才能保证,在不同的单位制下,得到的导出单位是等价的。

具体地说,物理单位的作用就是用来描述,当各个基本单位的尺度变化以后,这个物理量会发生怎样的变化。

比如说,密度单位是质量除以长度的三次方,就表明如果质量扩大到原来的 2 倍(或者说单位量变成了原来的 1/2 ),长度扩大到原来的 4 倍(或者说单位量变成了原来的 1/4 ),那么这个物理量将会变成原来的 2/4³ = 1/32 。

现在,假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。

按照国际标准单位制,这个单位是 sin(kg)·log(m) 。

假如单位换成了 sin(g)·log(cm) ,那么这个物理量将会变成原来的 sin(1000)·log(100) ≈ 3.80792 。

再继续换算成 sin(mg)·log(mm) ,物理量应该继续变成原来的 sin(1000)·log(10) ≈ 1.90396 。

但是,如果从 sin(kg)·log(m) 直接变到 sin(mg)·log(mm) ,物理量应该变成原来的 sin(1 000 000)·log(1000) ≈ -2.41767 ,这就和前面的结果矛盾了。

利用一些微积分知识可以证明,如果一个合成物理单位不会出现这样的问题,它必然是基本单位的幂的乘积的形式。

不过,这个解释并不能让我十分满意。各位模友怎么看呢?

本文由超级数学建模编辑整理

节选自

http://www.matrix67.com/blog/archives/4372

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